双六の回数の期待値

定義：サイコロは等確率で1〜3がでます。

１、簡単な例

2マスでゴールの双六があります。
スタートの状態から2以上が出ればゴールです。
ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値は？

この場合最初に1が出た場合のみサイコロを2回振ります。
それ以外の2〜3が出た場合にサイコロを1回振ります。

よって、期待値は

E(0)=2*1/3+1*2/3=4/3回

となります。

２、簡単な例を数式に

E(0) = 1/3*E(1)+2/3*E(2)+1
E(1) = E(2)+1
E(2) = 0

３、ゴールが5マスのとき

E(0) = 1/3*E(1)+1/3*E(2)+1/3*E(3)+1
E(1) = 1/3*E(2)+1/3*E(3)+1/3*E(4)+1
E(2) = 1/3*E(3)+1/3*E(4)+1/3*E(5)+1
E(3) = 1/3*E(4)+2/3*E(5)+1
E(4) = E(5)+1
E(5) = 0

４、ゴールから戻る場合

ちょうどゴールに到着しない場合は、
余った数だけ戻ることを考えます。

E(0) = 1/3*E(1)+1/3*E(2)+1/3*E(3)+1
E(1) = 1/3*E(2)+1/3*E(3)+1/3*E(4)+1
E(2) = 1/3*E(3)+1/3*E(4)+1/3*E(5)+1
E(3) = 2/3*E(4)+1/3*E(5)+1
E(4) = 1/3*E(3)+1/3*E(4)+1/3*E(5)+1
E(5) = 0

E(4)に関しては次のように書き換えが必要。
E(4) = 1/2*E(3)+1/2*E(5)+3/2

ここでE(3)を求めるためにはE(4)が必要で、
E(4)を求めるためにはE(3)が必要になります。
ここは連立方程式で解けます。
E(0)=13/3、E(1)=4、E(2,3,4)=3、E(5)=0となります。