浮動小数のメモリ上の扱いについて

 まず２進数のおさらい、

２進数は数字の０と１のみで表現する。
０から１ずつ増える場合、０、１、１０、１１、１００・・・と増える。
この場合１０進数の２が２進数の１０にあたり、
１０進数の３は２進数の１１、１０進数の４は２進数の１００にあたる。
１０進数の場合は一桁上げるのに１０倍するが、
２進数の場合は一桁上げるのに２倍すればよいことになる。
これは一桁下げるには２で割ればよいという考えによる。
すなわち、１０進数の０．５は２進数の０．１であり、
１０進数の０．２５は２進数の０．０１であり、
１０進数の０．１２５は２進数の０．００１である。

 ここから浮動小数について

まず浮動小数というと３２ビットの値で、
先頭の１ビットが正か負かのフラグ（０＝正、１＝負）。
次の８ビットが２＾（Ｅ−１２７）のＥの値（符号無しの正の値）。
残り２３ビットが１．＊＊＊＊の「＊＊＊＊」部分となります。

これではわけがわからないので例として、
小数の値である「８．７５」を浮動小数に変換してみます。

まず整数部分の「８」は２進数で「１０００」。
小数部分は「０．５」が２進数で「０．１」、
「０．２５」が２進数で「０．０１」であるので、
「０．７５」は「０．１１」ということになります。
すなわち、「８．７５」は２進数で「１０００．１１」となります。

これを無理やり「１．＊＊＊＊」の形に変換します。
すなわち、「１．０００１１ × ２＾３」となります。

ここまできたらあとは簡単で、

正か負か？→正なので先頭の１ビットは「０」。
Ｅ−１２７＝３→よってＥ＝「１３０」。
１．＊＊＊＊＝１．０００１１→よって「０００１１」。

ゆえに「８．７５」は、

「０ １０００００１０ ０００１１００００００００００００００００００」

と変換されます。

この浮動小数の規格をＩＥＥＥ７５４（１９８５）というそうです。
浮動小数の足し算や引き算はＥの値が大きいほうにあわせて計算されるので、
ここで丸め誤差に加えて情報落ちや桁落ちが発生します。

以下に確認用プログラムを用意しました。

/*
*   浮動小数（３２ビット値）を 0 と 1 に変換して表示します
*/

#include 

#define BYTE_SIZE 8    /* １バイトの幅 */
#define RETURN_COLS 8  /* 表示する列数 */

typedef union{
  float f;
  char c[4];
}floatchar;

/* char型の文字を 0 と 1 で出力 */
void print_byte_string(char c);

/* 画面に出力 */
void (*disp)(float);
void disp_le(float);
void disp_be(float);

int main(void)
{
  short a = 1;

  if(*(char *)&a == 1){
    /* リトルエンディアンのとき */
    disp = disp_le;
  }
  else{
    /* ビッグエンディアンのとき */
    disp = disp_be;
  }

  disp(1.5);
  disp(1.25);
  disp(1.75);
  disp(1.875);

  return 0;
}

/*
* 画面への出力(リトルエンディアン)
*/
void disp_le(float f)
{
  int i;
  floatchar fc;

  fc.f = f;

  printf("%f", f);

  putchar(':');

  for(i = 3; i >= 0; i--)
  {
    putchar(' ');
    print_byte_string(fc.c[i]);
  }

  putchar('\n');

  return;
}

/*
* 画面への出力(ビッグエンディアン)
*/
void disp_be(float f)
{
  int i;
  floatchar fc;

  fc.f = f;

  printf("%f", f);

  putchar(':');

  for(i = 0; i <= 3; i++)
  {
    putchar(' ');
    print_byte_string(fc.c[i]);
  }

  putchar('\n');

  return;
}

/*
* char型の８ビットを 0 と１で出力
*/
void print_byte_string(char c)
{
  int i;

  for(i = BYTE_SIZE - 1; i >= 0; i--)
  {
    if(((c >> i) & 1) == 1) /* ビットが 0 か 1 か？ */
      putchar('1');
    else
      putchar('0');
  }
}